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Mitternachtsformel

LernaL
Lerna (@lerna)
March 25, 2025

Mithilfe der Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt) kann man quadratische Gleichungen lösen bzw. die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen.

Merke

Gegeben ist eine Gleichung der Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 (allgemeine Form).

Dann lauten die Lösungen x1x_1 und x2x_2 dieser Gleichung:

x1=−b+b2−4ac2ax2=−b−b2−4ac2a\begin{aligned} x_{1} &= \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[1.5em] x_{2} &= \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{aligned}

Oder in Kurzschreibweise zusammengefasst:

x1/2=−b±b2−4ac2a\boxed{x_{1/2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}

Wobei b2−4ac\boxed{b^2-4ac} auch als Diskriminante DD bezeichnet wird.

Anwendung Schritt für Schritt

Mit diesen fünf Schritten kann das Bestimmen der Lösungen nicht schiefgehen.

Beispielaufgabe:

Bestimme die Lösungen der Gleichung:

20x+2x2+4=4x−2020x + 2x^2 + 4 = 4x -20

Schritt 1: In allgemeine Form bringen

Zu Beginn sollte man die Gleichung in allgemeine Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 bringen. Dieser Schritt erhöht die Übersichtlichkeit erheblich und verringert damit Fehler.

Verwende zur Umformung dir bekannte Rechenregeln (z.B. Ausmultiplizieren, Zusammenfassen oder "auf die andere Seite bringen").

In unserem Beispiel:

20x+2x2+4=4x−20∣+2020x+2x2+24=4x∣−4x16x+2x2+24=0∣ sortieren2x2+16x+24=0\begin{aligned} 20x + 2x^2 + 4 &= 4x -20 & | +20 \\ 20x + 2x^2 + 24 &= 4x & | -4x \\ 16x + 2x^2 + 24 &= 0 & | \text{ sortieren} \\ 2x^2 +16x +24 &= 0 & \end{aligned}

Schritt 2: Überprüfung

Die Mitternachtsformel kann nur bei quadratischen Gleichungen angewendet werden. Wenn es ein xx mit höheren Exponenten als 2 gibt (z.B. x3x^3 oder x4x^4), lässt sich die Formel nicht anwenden.

Ist die Gleichung reinquadratisch oder hat sie kein absolutes Glied, sollte man die Mitternachtsformel nicht anwenden, weil man die Lösungen schneller durch Umformen bestimmen kann.

Schritt 3: Koeffizienten ablesen

Für die Formel benötigt man die Koeffizienten aa, bb und cc, die sich aus der Gleichung ablesen lassen.

Dabei ist

  • aa die Konstante vor dem x2x^2

  • bb die Konstante vor dem xx

  • cc die alleinstehende Konstante (ohne xx)

In unserem Beispiel:

Aus der Gleichung 2x2+16x+242x^2 +16x +24 können wir ablesen: a=2,  b=16,  c=24a=2,\; b=16,\; c=24.

Schritt 4: Diskriminante ausrechnen

Haben wir die Koeffizienten ermittelt, sollten wir danach die Diskriminante DD ausrechnen, um zu überprüfen, ob die Gleichung überhaupt lösbar ist.

Diskriminante einer quadratischen Gleichung

Die Diskriminante DD bestimmt, wie viele Lösungen die Gleichung besitzt.

D=b2−4acD = b^2-4ac

Dabei gilt:

- D>0D > 0: Die Gleichung hat zwei Lösungen

- D=0D = 0: Die hat eine gemeinsame Lösung (x1x_1 und x2x_2 sind identisch)

- D<0D < 0: Die Gleichung hat keine Lösung

In unserem Beispiel:

Wir rechnen die Diskriminante aus:

D=162⏟b−4⋅2⏟a⋅24⏟c=256−192=64>0D = \underbrace{16^2}_{b}-4\cdot \underbrace{2}_{a} \cdot \underbrace{24}_{c} = 256 - 192 = 64 > 0

Da D>0D > 0 ist, hat die Beispielgleichung zwei Lösungen.

Schritt 5: In die Formel einsetzen

Ist D≥0D \geq 0, dann können wir die Koeffizienten in die Formel einsetzen und die Lösungen bestimmen.

Zur Erinnerung: Eine quadratische Gleichung kann zwei Lösungen haben:

x1=−b+D2a=−b+b2−4ac2ax2=−b−D2a=−b−b2−4ac2a\begin{aligned} x_1 &= \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[1.5em] x_2 &= \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{aligned}

In unserem Beispiel:

Wir setzen die Koeffizienten und DD in die Mitternachtsformel ein:

x1/2=−16±642⋅2=−16±84x1=−16+84=−84=−2x2=−16−84=−244=−6\begin{aligned} x_{1/2} &= \frac{-16 \pm \sqrt{64}}{2\cdot2} = \frac{-16 \pm 8}{4} \\[1.5em] x_1 &= \frac{-16 + 8}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \\[1em] x_2 &= \frac{-16 - 8}{4} = \frac{-24}{4} = -6 \end{aligned}

Fertig! Die Lösungen der Gleichung sind x1=−2x_1 = -2 und x2=−6x_2 = -6.