Mitternachtsformel

Mithilfe der Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt) kann man quadratische Gleichungen lösen bzw. die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen.

Anwendung Schritt für Schritt

Mit diesen fünf Schritten kann das Bestimmen der Lösungen nicht schiefgehen.

Beispielaufgabe:

Bestimme die Lösungen der Gleichung:

Schritt 1: In allgemeine Form bringen

Zu Beginn sollte man die Gleichung in allgemeine Form bringen. Dieser Schritt erhöht die Übersichtlichkeit erheblich und verringert damit Fehler.

Verwende zur Umformung dir bekannte Rechenregeln (z.B. Ausmultiplizieren, Zusammenfassen oder "auf die andere Seite bringen").

In unserem Beispiel:

Schritt 2: Überprüfung

Die Mitternachtsformel kann nur bei quadratischen Gleichungen angewendet werden. Wenn es ein mit höheren Exponenten als 2 gibt (z.B. oder ), lässt sich die Formel nicht anwenden.

Ist die Gleichung reinquadratisch oder hat sie kein absolutes Glied, sollte man die Mitternachtsformel nicht anwenden, weil man die Lösungen schneller durch Umformen bestimmen kann.

Schritt 3: Koeffizienten ablesen

Für die Formel benötigt man die Koeffizienten , und , die sich aus der Gleichung ablesen lassen.

Dabei ist

• die Konstante vor dem

• die Konstante vor dem

• die alleinstehende Konstante (ohne )

In unserem Beispiel:

Aus der Gleichung können wir ablesen: .

Schritt 4: Diskriminante ausrechnen

Haben wir die Koeffizienten ermittelt, sollten wir danach die Diskriminante ausrechnen, um zu überprüfen, ob die Gleichung überhaupt lösbar ist.

In unserem Beispiel:

Wir rechnen die Diskriminante aus:

Da ist, hat die Beispielgleichung zwei Lösungen.

Schritt 5: In die Formel einsetzen

Ist , dann können wir die Koeffizienten in die Formel einsetzen und die Lösungen bestimmen.

Zur Erinnerung: Eine quadratische Gleichung kann zwei Lösungen haben:

In unserem Beispiel:

Wir setzen die Koeffizienten und in die Mitternachtsformel ein:

Fertig! Die Lösungen der Gleichung sind und .